二维一阶齐次线性常微分方程组

一、标准形式

\[ \begin{equation} \mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t) \end{equation}\tag{1.1} \]

其中，系数矩阵 \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) ，且 \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\)。

二、特征值和特征向量

特征值 \(\lambda\) 满足以下等式：

\[ \begin{equation} A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}. \end{equation}\tag{2.1} \]

该式等价于：

\[ (A-\lambda I) \mathbf{v} = \mathbf{0}. \]

为使该方程存在非零解（ 即 \(\mathbf{v}\neq \mathbf{0}\) ），系数矩阵必须是奇异的，因此有：

\[ \mathrm{det}(A-\lambda I) = 0. \]

特征多项式 \(p(\lambda)\) 定义为：

\[ \begin{equation} p(\lambda) = \mathrm{det}(A-\lambda I). \end{equation}\tag{2.2} \]

为简化表达，引入以下两个量：

• \(T = \mathrm{tr}(A) = a + d\)：矩阵的迹；
• \(D = \mathrm{det}(A) = ad - bc\)：矩阵的行列式。

于是，特征多项式可以写成：

\[ \begin{equation} p(\lambda) = \lambda^2 - T\lambda + D. \end{equation}\tag{2.3} \]

解该特征方程 \(p(\lambda)=0\) 得：

\[ \begin{equation} \lambda_1,\lambda_2 = \frac{T\pm\sqrt{T^2-4D}}{2}. \end{equation}\tag{2.4} \]

其中，判别式 \(\Delta=T^2-4D\) 用于判断特征值的类型。

此外，特征值与 \(T,D\) 满足以下关系：

\[ \begin{equation} T=\lambda_1 + \lambda_2,\quad D=\lambda_1 \lambda_2. \end{equation}\tag{2.5} \]

特征向量 \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\) 可以通过将特征值代入式 \((2.1)\) 后求解得到。

三、通解

(1) \(\Delta > 0\)

此时，特征值为 \(\lambda_1 \neq \lambda_2\)，且 \(\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}\) ，分别对应线性无关的特征向量 \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\)。

通解为：

\[ \mathbf{x}(t) = c_1 e^{\lambda_1 t}\mathbf{v}_1 + c_2 e^{\lambda_2 t}\mathbf{v}_2. \]

或：

\[ \mathbf{x}(t) = P\mathbf{y}(t). \]

其中：

• \(P = \left(\mathbf{v}_1\quad \mathbf{v}_2\right)\) 是由 \(A\) 的特征向量构成的可逆矩阵；
• \(\mathbf{y}(t) = \begin{pmatrix}c_1 e^{\lambda_1 t}\\c_2 e^{\lambda_2 t}\end{pmatrix}\) 是对角化后的方程组 \(\mathbf{y}'(t)=\mathrm{diag}(A) \mathbf{y}(t)\) 的通解；
• \(\mathrm{diag}(A) = P^{-1}AP = \begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}\) 是 \(A\) 的对角形。

(2) \(\Delta < 0\)

此时，特征值为一对共轭复数:

\[ \lambda,\overline{\lambda} = \alpha \pm \beta i\quad(\alpha,\beta\in\mathbb{R},\beta\neq 0) \]

对应的复特征向量为：\(\mathbf{v},\overline{\mathbf{v}}\)。

通解可表示为复解的实部与虚部的线性组合：

\[ \mathbf{x}(t) = c_1 e^{\alpha t} \, \mathrm{Re}\left( e^{i\beta t} \mathbf{v} \right) + c_2 e^{\alpha t} \, \mathrm{Im}\left( e^{i\beta t} \mathbf{v} \right). \]

或：

\[ \mathbf{x}(t)=P\mathbf{y}(t). \]

其中：

• \(P=(\mathbf{Re}(\mathbf{v})\quad \mathbf{Im}(\mathbf{v}))\) 是由复特征向量的实部和虚部构成的实矩阵；
• \(\mathbf{y}(t) = e^{\alpha t}\begin{pmatrix}c_1 \cos\beta t+c_2 \sin\beta t\\-c_1\sin\beta t+c_2\cos\beta t\end{pmatrix}\) 是变换后的方程组 \(\mathbf{y}'(t)=\ R\mathbf{y}(t)\) 的通解。
• \(R=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\-\beta&\alpha\end{pmatrix}\) 是 \(A\) 的实相似变换标准形。

(3) \(\Delta = 0\)

此时，特征值为重根 \(\lambda_1=\lambda_2=\alpha \in\mathbb{R}\)。

对应仅有一个线性无关的特征向量 \(\mathbf{v}\)。

通解为：

\[ \mathbf{x}(t)=c_1e^{\lambda t}\mathbf{v}+c_2e^{\lambda t}t\mathbf{v}_g \]

其中，广义特征向量 \(\mathbf{v}_g\) 是满足 \((A - \lambda I)^2 \mathbf{v}_g = 0\) 但 \((A - \lambda I)\mathbf{v}_g \neq 0\) 的向量。

或：

\[ \mathbf{x}(t) = P\mathbf{y}(t) \]

其中：

• \(P = (\mathbf{v} \quad \mathbf{v}_g)\) 是由特征向量与广义特征向量构成的可逆矩阵；
• \(\mathbf{y}(t) = e^{\lambda t} \begin{pmatrix} c_1 + c_2 t \\ c_2 \end{pmatrix}\) 是变换后方程组 \(\mathbf{y}'(t) = J\mathbf{y}(t)\) 的通解；
• \(J = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}\) 是 \(A\) 的 Jordan 标准形。

四、MMA

(*定义矩阵 A 的一般形式*)
matA = {{a, b}, {c, d}};

(*计算矩阵 A 的特征值*)
{\[Lambda]1, \[Lambda]2} = Eigenvalues[matA];

(*计算对应的特征向量*)
{v1, v2} = Eigenvectors[matA];

(*显示特征值与特征向量*)
Print["特征值 \[Lambda]₁ = ", \[Lambda]1,
  ", \[Lambda]₂ = ", \[Lambda]2];
Print["对应特征向量 v₁ = ", v1, ", v₂ = ", v2];

(*构造通解 x(t)=c₁ e^{\[Lambda]₁t} v₁+c₂ e^{\[Lambda]₂t} v₂*)
x = c1*E^(\[Lambda]1*t)*v1 + c2*E^(\[Lambda]2*t)*v2;

(*显示解向量 x(t)*)
Print["解向量 x(t) = ", x];

(*验证解是否满足微分方程：x'(t)=A x(t)*)
lhs = D[x, t];       (*左边：x'(t)*)
rhs = matA . x;      (*右边：A\[CenterDot]x(t)*)

Print["x'(t) = ", lhs];
Print["A \[CenterDot] x(t) = ", rhs];

Print["是否满足 x'(t) = A.x(t)？ ", Simplify[lhs == rhs]];

输出：

特征值 \[Lambda]₁ = 1/2 (a+d-Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]), \[Lambda]₂ = 1/2 (a+d+Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2])

对应特征向量 v₁ = {-((-a+d+Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2])/(2 c)),1}, v₂ = {-((-a+d-Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2])/(2 c)),1}

解向量 x(t) = {-((c1 (-a+d+Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) E^(1/2 (a+d-Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) t))/(2 c))-(c2 (-a+d-Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) E^(1/2 (a+d+Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) t))/(2 c),c1 E^(1/2 (a+d-Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) t)+c2 E^(1/2 (a+d+Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) t)}

x'(t) = {-((c1 (a+d-Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) (-a+d+Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) E^(1/2 (a+d-Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) t))/(4 c))-(c2 (-a+d-Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) (a+d+Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) E^(1/2 (a+d+Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) t))/(4 c),1/2 c1 (a+d-Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) E^(1/2 (a+d-Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) t)+1/2 c2 (a+d+Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) E^(1/2 (a+d+Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) t)}

A \[CenterDot] x(t) = {b (c1 E^(1/2 (a+d-Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) t)+c2 E^(1/2 (a+d+Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) t))+a (-((c1 (-a+d+Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) E^(1/2 (a+d-Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) t))/(2 c))-(c2 (-a+d-Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) E^(1/2 (a+d+Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) t))/(2 c)),d (c1 E^(1/2 (a+d-Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) t)+c2 E^(1/2 (a+d+Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) t))+c (-((c1 (-a+d+Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) E^(1/2 (a+d-Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) t))/(2 c))-(c2 (-a+d-Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) E^(1/2 (a+d+Sqrt[a^2+4 b c-2 a d+d^2]) t))/(2 c))}

是否满足 x'(t) = A.x(t)？ True