三重积分

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三重积分

想象我们的空间是欧几里得式的，我们可以用三维直角坐标系来描述空间中每一个点的位置 \((x,y,z)\)。进一步设想，空间中的每一个点都像一个“抽屉”，而每个抽屉里面存放着一个数字。我们可以将之描述为每个坐标 \((x,y,z)\) 映射着一个函数值 \(f(x,y,z)\)。在这样的设想下，给定一个有限的空间 \(\Omega\) （例如，一个从原点出发，在 \(x\)、\(y\)、\(z\) 方向上分别延伸 \(a\)、\(b\)、\(c\) 个单位长度的长方体），我们想要知道这个空间中所有抽屉里存放的数字之和，应当如何表达？

我们需要找到一条“路”，这条路连接着 \(\Omega\) 中所有的抽屉。然后我们沿着这条路走，把抽屉一个一个打开，看看里面的数字是多少，然后把它们全部加起来。这条路需要有一个特点，那就是不能重复经过同一个抽屉，我们要确保每个抽屉只被查看一次。

我们可以设想这个路程就是体积 \(V\)，而我们每次从上一个抽屉走到下一个抽屉的步长为体积微元 \(\mathrm{d} V\)。我们有三种常见的走法：

  • 直角坐标系： \(\mathrm{d} V = \mathrm{d} x\ \mathrm{d} y\ \mathrm{d} z\)

  • 柱坐标系： \(\mathrm{d} V =\mathrm{d} r\ (r\ \mathrm{d} \theta)\ \mathrm{d} z =r\ \mathrm{d} r\ \mathrm{d} \theta\ \mathrm{d} z\)

  • 球坐标系： \(\mathrm{d} V =\mathrm{d} \rho\ (\rho\ \sin{\phi}\ \mathrm{d}\theta)\ (\rho\ \mathrm{d}\phi)=\rho^2\ \sin\phi\ \mathrm{d}\rho\ \mathrm{d}\theta\ \mathrm{d}\phi\)

柱坐标系
球坐标系

图示取自 openstax 教材 Calculus Volume 3: 5.5 Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates

我们便可以通过三重积分来表达这个总和（以直角坐标系为例）：

\[ \begin{aligned} &\iiint_\Omega f(x,y,z)\ \mathrm{d}V = \iiint_\Omega f(x,y,z)\ \mathrm{d}x\ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}z,\\[12pt] &\Omega = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\mid 0 \le x \le a,\ 0 \le y \le b,\ 0 \le z \le c\}. \end{aligned} \]

这个抽屉模型可以套用到许多实际问题中：

  • 当 \(f(x,y,z)\) 表示密度函数时，积分结果表示整个区域内的总质量；

  • 当 \(f(x,y,z)\) 表示电荷密度时，积分给出该区域内的总电荷量；

三重积分可以作为连接空间分布函数和物理世界总量之间的桥梁。

以下定理构成我们计算三重积分的理论基础（在此假设读者已掌握一重积分的计算方法）。

Fubini 定理

考虑一个三重积分：

\[ \iiint_\Omega f(x,y,z)\ \mathrm{d}V, \]

如果 \(f(x,y,z)\) 在区域 \(\Omega\) 上可积，那么该积分可以表示为三个一重积分的迭代形式：

\[ \iiint_\Omega f(x,y,z)\ \mathrm{d}x\ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}z =\int_{z_0}^{z_1} \int_{y_0(z)}^{y_1(z)} \int_{x_0(y,z)}^{x_1(y,z)} f(x,y,z)\ \mathrm{d}x\ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}z. \]

通过灵活选择积分顺序，该三重积分还可以写成如下形式，或其他变量排列组合的迭代形式：

\[ \iiint_\Omega f(x,y,z)\ \mathrm{d}V = \int_{x_0}^{x_1} \int_{y_0(x)}^{y_1(x)} \int_{z_0(x,y)}^{z_1(x,y)} f(x,y,z)\ \mathrm{d}z\ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}x \]

选择最便于计算的 \(x,y,z\) 的积分顺序即可。这个定律适用于我们上述的三种坐标系中的任何一种。

练习

1. 球体的体积

假设空间中有一个球体，其函数表达式为 \(x^2+y^2+z^2=R\)。利用小学数学教科书里的球的体积计算公式可知，球体的体积为 \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)。

球体的体积公式也可以用三重积分计算出来：

\[ \int_{\rho=0}^{\rho=R}\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\int_{\phi=0}^{\phi=\pi} 1\ \rho^2\ \sin\phi\ \mathrm{d}\rho\ \mathrm{d}\theta\ \mathrm{d}\phi \]

利用python计算：

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import sympy as sp
from IPython.display import display, Math

# 定义符号
rho, theta, phi, R = sp.symbols('rho theta phi R', real=True, positive=True)

# 被积函数
f = rho**2 * sp.sin(phi)

# 积分顺序：rho ∈ [0, R], theta ∈ [0, 2π], phi ∈ [0, π]
integral = sp.integrate(f, (rho, 0, R), (theta, 0, 2*sp.pi), (phi, 0, sp.pi))

# 输出结果
display(Math(r"\text{积分结果为：} \quad " + sp.latex(integral)))

输出为：

\(\displaystyle \text{积分结果为：} \quad \frac{4 \pi R^{3}}{3}\)