戴德金分割构造实数系

Posted on 2025-04-18

思路

不需要“知道”无理数是多少，只要知道所有比它小的有理数和所有比它大的有理数就足以“界定”它。

这篇文章主要想要讨论如何从有理数$\mathbb{Q}$构建实数$\mathbb{R}$。不讨论构造实数的动机。
内容基本上来自Baby Rudin，用的是戴德金分割构造实数。当作自我练习而写的文章。

有理数$\mathbb{Q}$

让我们回顾$\mathbb{Q}$的性质

$\mathbb{Q}$是一个集合(Set)

\[ \mathbb{Q}=\left\{ x : x = \frac{p}{q}\text{ where } p,q \in \mathbb{Z} \text{ and } q\neq 0 \right\} \]

接着，$\mathbb{Q}$是一个有序集合(Ordered Set)，但在此之前我们先声明序(Order)的定义

$\textbf{定义 1. 序 Order}$

Let $S$ be a set. An order on $S$ is a relation, denoted by $<$, with the following two properties

$\mathrm{(i)}$ If $x\in S$ and $y\in S$, then one and only one of the statements

\[ x<y,\ x=y,\ y<x \]

is true.

$\mathrm{(ii)}$ If $x,y,z \in S$, if $x<y$ and $y<z$, then $x<z$.

$\textbf{定义 2. 有序集合 Ordered Set}$

An ordered set is a set $S$ in which an order is defined.

$\mathbb{Q}$是一个有序集合(Ordered Set)，可以写作

\[ \left( \mathbb{Q}, < \right) \]

接着，$\mathbb{Q}$是一个域(Field)。域(Field)的定义是

$\textbf{定义 3. 域 Field}$

A field is a set $\mathbb{F}$ with two operations, called addition and multiplication, which satisfy the following so-called “field axioms” (A), (M), and (D):

(A) Axioms for addition

(A1) $x\in \mathbb{F}$ and $y\in \mathbb{F}$, then their sum $x+y$ is in $\mathbb{F}$.

(A2) Addition is commutative: $x+y=y+x$ for all $x,y \in \mathbb{F}$.

(A3) Addition is associative: $(x+y)+z=x+(y+z)$ for all $x,y,z\in \mathbb{F}$.

(A4) F contains an element $0$ such that $0+x=x$ for every $x\in \mathbb{F}$.

(A5) To every $x\in \mathbb{F}$ corresponds an element $-x\in \mathbb{F}$ such that $x+(-x)=0$

(M) Axioms for multiplication

(M1) $x\in \mathbb{F}$ and $y\in \mathbb{F}$, then their product $xy$ is in $\mathbb{F}$.

(M2) Multiplication is commutative: $xy=yz$ for all $x,y\in\mathbb{F}$.

(M3) Multiplication is associative: $(xy)z=x(yz)$ for all $x,y,z\in\mathbb{F}$.

(M4) F contains an element $1\neq 0$ such that $1x=x$ for every $x\in\mathbb{F}$.

(M5) If $x\in \mathbb{F}$ and $x\neq 0$ then there exists an element $1/x\in \mathbb{F}$ such that $x\cdot(1/x)=1$.

(D) The distributive law

\[ x(y+z)=xy+xz \]

holds for all $x,y,z\in\mathbb{F}$.

$\mathbb{Q}$是一个域，写作

\[ \left( \mathbb{Q},+,\times\right) \]

接着，$\mathbb{Q}$既是有序集合，也是域。我们用以下定义将有序集合和域联系起来

$\textbf{定义 4. 有序域 Oredered Field}$

An ordered field is a field $\mathbb{F}$ which is also an ordered set, such that

$\mathrm{(i)}$ $x+y<x+z$ if $x,y,z\in \mathbb{F}$ and $y<z$,

$\mathrm{(ii)}$ $xy>0$ if $x\in\mathbb{F},y\in\mathbb{F},x>0,\text{ and } y>0.$

If $x>0$, we call $x$ positive; if $x<0$, $x$ is negative.

$\mathbb{Q}$是一个有序域，写作

\[ \left(\mathbb{Q},<,+,\times\right) \]

有理数$\mathbb{Q}$的阿基米德性质

这个性质在后续构造$\mathbb{R}$的过程中会被用到。在这篇文章中，以下声明将作为公理使用。

$\textbf{定理 1. 有理数} \mathbb{Q} \textbf{的阿基米德定理}$

对于任意两个有理数$x,y\in\mathbb{Q}$，如果$x,y>0$，那么存在一个正整数$n\in\mathbb{Z}_{\geq 1}$，使得：

\[ nx>y \]

有序集合的相关定义定理

$\textbf{定义 2.1. 上界 Upper Bound}$

Suppose $S$ is an ordered set, and $E\subset S$. If there exists a $\beta \in S$ such that $x\leq \beta$ for every $x\in E$, we say that $E$ is bounded above, and call $\beta$ an upper bound of $E$.

Lower bounds are defined the same way (with $\geq$ in place of $\leq$).

$\textbf{定义 2.2. 最小上界 Least Upper Bound}$

Suppose $S$ is an ordered set, $E\subset S$, and $E$ is bounded above. Suppose there exists an $\alpha \in S$ with the following properties:

$\mathrm{(i)}$ $\alpha$ is an upper bound of $E$.

$\mathrm{(ii)}$ If $\gamma < \alpha$ then $\gamma$ is not an upper bound of $E$.

Then $\alpha$ is called the least upper bound of $E$ or the supremum of $E$, and we write

\[ \alpha = \sup E. \]

The greatest lower bound, or infimum, of a set $E$ which is bounded below is defined in the same manner. The statement

\[ \alpha = \inf E \]

means that $\alpha$ is a lower bound of $E$ and that no $\beta$ with $\beta > \alpha$ is a lower bound of $E$.

$\textbf{定义 2.3. 最小上界属性 Least-Upper-Bound Property}$

An ordered set $S$ is said to have the least-upper-bound property if the following is true:

If $E\subset S$, $E$ is not empty, and $E$ is bounded above, then $\sup E$ exists in $S$.

$\textbf{定理 2.4.}$ Suppose $S$ is an ordered set with the least-upper-bound property, $B\subset S$, $B$ is not empty, and $B$ is bounded below. Let $L$ be the set of all lower bounds of $B$. Then

\[ \alpha = \sup L \]

exists in $S$ and $\alpha = \inf B$.

In particular, $\inf B$ exists in $S$.

证明：
因为$B$有下界，而$L$又是$B$的所有下界的集合，所以$L$不为空集。
因为$L$中的所有元素都是$B$的下界，反过来说，$B$中的所有元素都是$L$的上界，所以$L$有上界。我们已经假设$S$具有最小上界属性，所以$\sup L$存在；令$\alpha = \sup L$。
如果$\gamma < \alpha$，那么$\gamma$不会是$L$的上界，因此$\gamma \notin B$。因为所有比$\alpha$小的元素都不在$B$中，所以$B$中的所有元素都大于等于$\alpha$，即对所有$x\in B$，有$\alpha \leq x$。因此$\alpha$是$B$的下界，$\alpha \in L$。
如果$\alpha < \beta$，那么$\beta$不会在$L$之中，或者说$\beta$不是$B$的下界。
至此，我们有$\alpha \in L$，以及如果$\beta > \alpha$那么$\beta \notin L$。也就是说，$\alpha$是$B$的下界，但任何大于$\alpha$的元素都不是$B$的下界，即$\alpha$是$B$的最大下界；$\alpha = \inf B$。

$\blacksquare$

构造具有最小上界属性的$\left(\mathbb{R},<,+,\times\right)$

$\textbf{定理实数有序域}$

There exists an ordered field $\mathbb{R}$ which has the least-upper-bound property. Moreover, $\mathbb{R}$ contains $\mathbb{Q}$ as a subfied.

构造：

第1步

定义cut（戴德金分割）是具有以下性质的集合$\alpha$:

$\mathrm{(I)}$ $\alpha \subset \mathbb{Q}, \alpha \neq \emptyset, \text{ and } \alpha \neq \mathbb{Q}$。

$\mathrm{(II)}$ If $p\in \alpha, q\in \mathbb{Q}, \text{ and } q<p$, then $q\in \alpha$.

$\mathrm{(III)}$ If $p\in \alpha$, then $\exists r \in \alpha, p<r$.

有了cut的定义后，我们说，$\mathbb{R}$就是由所有满足以上性质的$\alpha$组成的。$= { : } $。

补充：
$\mathrm{(I)}$ $\alpha$是有理数$\mathbb{Q}$的非空真子集。
$\mathrm{(II)}$ $\alpha$向下闭合。戴德金分割一般是将有理数分成两个集合，这里只显式地声明了下半集合。
$\mathrm{(III)}$ $\alpha$中没有最大元。这一点基于有理数的稠密性而得以实现。

第2步

定义$\mathbb{R}$中的序$<$:

$\alpha < \beta$ 意味着$\alpha$是$\beta$的真子集；$\alpha \subsetneqq \beta$。

接着我们需要验证这符合定义1.序。(i)假设有两个cuts，$\alpha$和$\beta$。如果$\alpha$是$\beta$的真子集，即$\alpha < \beta$，那么存在某个$p\in \beta$但$p\notin \alpha$，即$\alpha = \beta$和$\alpha > \beta$为假。同理，我们可以假设两外两种情况，最终得到对于任意两个cuts，$\alpha$和$\beta$，以下三种情况只能有一种为真：

\[ \alpha < \beta,\ \alpha = \beta,\ \alpha > \beta. \]

(ii)假设有三个cuts，$\alpha$，$\beta$和$\gamma$，并且$\alpha < \beta$，$\beta < \gamma$，显然$\alpha < \gamma$。（A proper subset of a proper subset is a proper subset.）

所以，定义$\mathbb{R}$中的元素$\alpha < \beta$为$\alpha$是$\beta$的真子集符合我们对序的定义；$\mathbb{R}$是一个有序集，$\left(\mathbb{R},<\right)$。

第3步

证明$\mathbb{R}$是一个具有最小上界属性的有序集。

假设$A\subset \mathbb{R}, A\neq \emptyset$，并且$\beta$是$A$的一个上界。

定义$\gamma$为$A$中所有元素$\alpha$的并集(union)，即$\gamma = \bigcup_{\alpha_i \in A} \alpha_i$。因为$A$不为空集，所有至少存在一个$\alpha_0 \in A$。又因为$\alpha_0 \subset \gamma$，所以$\gamma$不为空集。接着，$\beta$是所有$\alpha_i$的上界，即$\alpha_i \leq \beta$，自然有$\gamma \leq \beta$，所以$\gamma \neq \mathbb{Q}$。至此，我们有$\gamma \neq \emptyset$以及$\gamma \neq \mathbb{Q}$，因此$\gamma$满足cut的定义$\mathrm{(I)}$。

从$\gamma$中任意选择一个元素$p$，根据$\gamma$的定义，$p$必定是某个$\alpha_1$的元素；$p\in \alpha_1$。如果$q\in \mathbb{Q}$并且$q < p$，那么$q \in \alpha_1$，显然也$q \in \gamma$。这意味着$\gamma$满足cut的定义$\mathrm{(II)}$。

接着，在$\alpha_1$中，总是存在一个$r$满足$p < r$；并且$r\in \gamma$。显然，得益于$\alpha_1$的性质，$\gamma$也没有最大元。因此$\gamma$满足cut的定义$\mathrm{(III)}$。

$\gamma$满足cut的定义，自然$\gamma \in \mathbb{R}$。

假设$\delta < \gamma$，那么存在一个$s\in \gamma$但$s \notin \delta$。因为$s \in \gamma$，所以$s \in \alpha$对于某个$\alpha \in A$。因此$\delta < \alpha$，$\delta$不是$\alpha$的上界。因此$\gamma$是$A$的最小上界，即$\gamma = \sup A$。

第4步

假设$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$。定义加法$\alpha + \beta = \left\{ r+s: r\in\alpha,s\in\beta \right\}$；定义加法元$0^{\ast}=\left\{q\in\mathbb{Q}: q<0 \right\}$。我们将验证这些定义符合域的加法要求。

$\mathrm{(A1)}$ 显然$\alpha+\beta$是$\mathbb{Q}$的非空子集。根据cut的定义，对于所有的$r\in \alpha$和$s\in \beta$，总是存在某个$r'$和$s'$满足$r' > r$和$s' > s$。因为$r' + s'$必定大于所有的$r + s$，所以存在$r' + s'\notin \alpha + \beta$，所以$\alpha + \beta < \mathbb{Q}$，即$\alpha+\beta$还是$\mathbb{Q}$的真子集。于是我们得到结论，$\alpha + \beta$是一个cut，$\alpha + \beta \in \mathbb{R}$。

$\mathrm{(A2)}$ 因为有理数$\mathbb{Q}$满足加法交换律，所以有

\[ \alpha + \beta = \left\{ r+s: r\in\alpha,s\in\beta \right\} = \left\{ s+r: r\in\alpha,s\in\beta \right\} = \beta + \alpha \]

$\mathrm{(A3)}$ 因为有理数$\mathbb{Q}$满足加法结合律，所以有

\[ (\alpha + \beta) + \gamma = \left\{ (r+s)+t: r\in\alpha,s\in\beta,t\in\gamma \right\} = \left\{ r+(s+t): r\in\alpha,s\in\beta,t\in\gamma \right\} = \alpha + (\beta + \gamma) \]

$\mathrm{(A4)}$ 取$r\in\alpha,s\in 0^{\ast}$，则有$r+s<r$，所以$r+s\in\alpha$，所以$\alpha+0^{\ast}$是$\alpha$的子集。

$\phantom{\mathrm{(A4)}}$ 取$p\in\alpha$以及$r\in\alpha$,并且满足$p < r$（那么$p-r\in 0^{\ast}$）。于是$p=r+ (p-r) \in \alpha + 0^{\ast}$，所以$\alpha$是$\alpha+0^{\ast}$的子集。

$\phantom{\mathrm{(A4)}}$ 因为$\alpha$和$\alpha+0^{\ast}$互为子集，所以$\alpha=\alpha+0^{\ast}$。

$\mathrm{(A5)}$ 假设已知$\alpha \in \mathbb{R}$。令$\beta$是由满足以下性质的所有的$p$所构成的集合：There exists $r>0$ such that $-p-r\notin \alpha$.

我们将证明$\beta \in \mathbb{R}$并且$\alpha + \beta = 0^{\ast}$。

补充说明。$\beta$实际上是下半集合$\alpha$所对应的上半集合$A$的所有元素取负值后所得到的集合。如果$\beta$由所有元素$p$构成，那么$A$由所有元素$-p$构成。因为$A$是$\alpha$对应的上半集合，所以$A$中无最小元（与cut的性质$\mathrm{(III)}$相反），即总是存在一个$r>0$，使得$A$中元素$-p$满足$-p-r$依旧是$A$的元素（这意味着$-p-r$不会是$\alpha$中的元素）。这对应书中构造$\beta$的方法。

如果$s\in\alpha$并且$p=-s-1$，那么$-p-1=s\notin\alpha$，所以$p\in\beta$，$\beta\neq\emptyset$。如果$q\in\alpha$，那么$q-r < q\ (r>0)$。因此$q-r\in \alpha$，或$-(-q) - r\in \alpha$，所以$-q\notin \beta$，所以$\beta \notin \mathbb{Q}$，所以$\beta$满足$\mathrm{(I)}$。

取$p\in\beta$以及$r>0$，使得$-p-r\notin \alpha$。如果$q< p$，那么$-q-r>-p-r$。因为$-p-r\notin\alpha$，所以$-q-r\notin\alpha$，所以$q\in\beta$。因此$\beta$满足$\mathrm{(II)}$。

取$p\in\beta$以及$r>0$，使得$-p-r\notin \alpha$。令$t = p+\frac{r}{2}$，则有$-(p+\frac{r}{2})-r>-p-r$，所以$-(p+\frac{r}{2})-r\notin\alpha$，所以$p+\frac{r}{2}\in\beta$。因此$t\in\beta$且$t>p$，所以$\beta$满足$\mathrm{(III)}$。

因为$\beta$满足$\mathrm{(I)}$ $\mathrm{(II)}$ $\mathrm{(III)}$，所以$\beta\in\mathbb{R}$。

如果$r\in\alpha,s\in\beta$，那么对于某些$t>0$，有$-s-r\notin\alpha$，再有$-s-t>r$，最后$r+s<-t<0$。因此$\alpha + \beta \subset 0^{\ast}$。

取$v\in 0^{\ast}$，令$w=-v/2$。

如果$p\notin\alpha$并且$q=|p|+1$，那么$q>p,q\notin\alpha$并且$q>0$。根据有理数$\mathbb{Q}$的阿基米德定理，存在正整数$m$使得$mw> q$，所以$mw\notin\alpha$。

如果$r\in\alpha$并且$s=-|r|-1$，那么$s< r,s\in\alpha$并且$-s>0$。根据有理数$\mathbb{Q}$的阿基米德定理，存在正整数$k$使得$kw > -s$，所以$-kw < s, -kw \in \alpha$。至此，我们得到两个正整数$m,k$使得$mw\notin\alpha,-kw\in\alpha$。

令$S=\left\{ i \in \mathbb{Z}_{\geq 0} :(i-k)w\notin\alpha \right \}$，那么$m+k\in S$。因为$\mathbb{Z}_{\geq 0}$是良序的(well-ordered)，所以$S$中有最小元素$j$。因为$(0-k)w=-kw\in\alpha$，所以$0\notin S$，所以$j>0$。因为$j$为$S$中最小的元素，所以$j-1\notin S$，所以$((j-1)-k)w\in \alpha$。因为$j\in S$，所以$(j-k)w\notin \alpha$。令$n=(j-1)-k$，那么$nw\in \alpha$，并且$(n+1)w\notin \alpha$。所以存在一个正整数$n$，使得$nw\in \alpha$并且$(n+1)w\notin\alpha$。

令$p'=-(n+2)w$，那么$-p'-w=(n+2)w-w=(n+1)w\notin \alpha$，所以$p'\in\beta$，所以$v=-2w=nw+p'\in \alpha + \beta$。因此$0^{\ast} \subset \alpha + \beta$。

因为$\alpha+\beta$和$0^{\ast}$互为子集，所以$\alpha+\beta=0^{\ast}$。由此$\beta$也能表示为$-\alpha$。

第5步

要直接证明实数域的乘法符合$\mathrm{(M)}$比较困难，因为负数乘负数得正数。因此我们先考虑证明$\mathbb{R}^+$中的乘法(即正实数之间乘法)。

如果$\alpha,\beta\in\mathbb{R}^+$，那么我们定义
$\alpha \beta = \{ p\in\mathbb{Q} : \exists r\in\alpha, s\in\beta,r>0,s>0 \text{ such that } q \leq rs \}$。

If α ∈ R+ and β ∈ R+, we define αβ to be the set of all p ≤ rs for some choice of r ∈ α, s ∈ β, r > 0, s > 0.

我们定义$1^{\ast}$为$\{ p\in\mathbb{Q} : p < 1 \}$。

$\mathrm{(M1)(M2)(M3)}$ 证明方法同$\mathrm{(A1)(A2)(A3)}$。

$\mathrm{(M4)}$ 任取$r\in\alpha,s\in 1^{\ast},r>0,s>0$。因为$s< 1$，所以$rs< r$，于是$\alpha \ 1^{\ast} \subset \alpha$。

$\phantom{\mathrm{(M4)}}$ 任取$p\in\alpha,p>0$以及$r\in\alpha,r>0$，并且满足$p< r$（那么$p/r \in 1^{\ast}$）。于是$p=r(p/r)\in \alpha\ 1^{\ast}$，所以$\alpha \subset \alpha \ 1^{\ast}$。

$\phantom{\mathrm{(M4)}}$ 因此$\alpha \ 1^{\ast} = \alpha$。

$\mathrm{(M5)}$ 关于这一步的证明，我没能完全解决。使用戴德金分割构造实数非常难证明实数的一些基本性质，具体见知乎回答dedekind的有理数分割F（Q）中的倒数如何定义？。

鉴于长时间思考$\mathrm{(M5)}$的证明不一定能给我带来更多对于实数的理解（至少当前的我还领悟不了），所以我决定暂时放弃这一步的证明。同时，我也将暂时放弃考虑$\alpha,\beta$不全为正实数时的乘法定义。

那么，到现在我们可以说，$\left( \mathbb{R}, +, \times \right)$。

第6步

我们现在要考虑将第2步和第5步的结论$\left( \mathbb{R}, < \right)$和$\left( \mathbb{R}, +, \times \right)$联系起来，所以我们要证明$\mathbb{R}$满足$\textbf{定义 4. 有序域 Oredered Field}$。当然，这是显然满足的。

所以，我们总结为：$\left( \mathbb{R}, <, +, \times \right)$，并且具有最小上界属性()。

总结

每个戴德金分割(cut)唯一地代表了一个实数，而每个实数也对应着一个戴德金分割。它们之间是一一对应的，而且这些 cuts 也能进行加法、乘法、比较大小等操作，跟我们熟悉的实数系完全一样。所以可以说，cuts 和实数，其实就是“同一个东西”的两种表达方式。我们用同构(isomorphic)描述cuts和实数的关系。

以上。

戴德金分割构造实数系

思路

有理数\(\mathbb{Q}\)

有理数\(\mathbb{Q}\)的阿基米德性质

有序集合的相关定义定理

构造具有最小上界属性的\(\left(\mathbb{R},<,+,\times\right)\)

第1步

第2步

第3步

第4步

第5步

第6步

总结